什么是循环小数

一、概念描述

现代数学：循环小数一般有两种定义：

一个或一段数的小数无限小数从小数点后某个位置重复出现，称为循环小数或无限循环小数；重复的一个或一段数叫做循环段。循环小数的缩写是省略第一个循环段后的所有数字，在第一个循环段的前两位和后两位数字上面加一个小点。比如3.258258258.=3.258(在2和8上加一个小点)。

循环小数可以分为两类：混合循环小数和纯循环小数。

混合坏小数：循环段不是从小数部分的第一位开始的循环小数，如3。258(在5和8上加一个小点)。

纯循环小数：从小数部分的第一位数字开始的循环小数，如3.258(在2和8上加一个小点)。

公理化定义：

循环小数是无限小数的一种特殊形式。对于无限小数0。a1a2.一个。如果我们能求出两个正整数s0，t0，那么as i=as kt i (i=1，2，…，t；k=l，2，)为真，那么无限小数称为循环小数，记录为0。a1a2.ass1.对于一个循环小数，满足上述公式的s和t的值数不胜数。如果取s和t的最小值，那么as 1as 2…as t为循环小数的循环段，t称为循环段的长度。如果最小的s=0，那么这个循环小数叫做纯循环小数；如果s0最小，对应的循环小数称为混合循环小数，a1 a2…如小数点后循环段前的部分称为非循环段。任何循环小数都可以转换成分数。

从数学的角度来说，第一种定义很好理解，小学数学教材的表述也差不多。第二种定义科学严谨，体现了循环小数的本质。

小学数学：2005年人民教育版教材五年级第二册第28页明确指出，一个数的小数部分，从某个地方开始，一个数或几个数依次反复出现，这样的小数称为循环小数。

这与现代数学中“循环小数”的第一个定义基本一致。小学数学教材考虑到学生的认知，没有提到十进制，默认是十进制无限小数。

二.概念解释

循环小数在实际测量和生产寿命中产生。在测量和平均时，往往会出现这样的情况：

在除法中，两个数被除。如果得不到整数商，有两种情况：一种得到有限小数，一种得到无限小数。在结果唯一的前提下，为了保证除法运算的顺利进行，确实需要引入一个新的数，这样分数就产生了。

循环小数实际上是有理数的小数表示。比如1/3，2/7等简单分数。在现实生活中有时候需要用小数来表示，然后就会出现循环小数。

有时，如果有必要，循环可以简化为分数。有两种情况：

一个纯循环小数的小数部分可以转换成这样一个分数：分子是一个循环截面所代表的数；分母的每个数字都是9，9的个数等于一个循环段的位数。

混合循环小数的小数部分可以转化为这样一个小数：分子是第二个循环段之前的小数部分的个数与小数部分中非循环部分的个数之差；分母的前几个数字都是9，9后的数字都是0。9的个数等于一个圆形截面的位数，0的个数等于非圆形部分的个数。

三.教学建议

循环小数是一个学生很难理解和表达的概念，尤其是一些表达其含义的抽象表达，如“循环”、“无穷”。因此，教师应该在教学中通过创设情境来帮助学生理解概念。

(1)循环小数的意义可以通过直观体验突破困难

教学周期小的时候，黄爱华老师用“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚对小和尚说：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说……”。学生在生动有趣的讲故事情境中感受和体验循环小数的“无穷”、“连续”、“不断”、“重复”等本质特征，使抽象的数学概念具体化。同时，教师在上课开始时用直观的方法排除障碍，使难点分散，为学习循环小数的意义铺平道路。

(2)循环小数的含义通过除法计算不断完善

故事介绍完毕后，黄老师呈现了两条消息：“乌龟6分钟爬70米，蜗牛11分钟爬9.4米”，让同学们自主计算乌龟和蜗牛的速度。(706=11.66……,9.411=0.85454……)

有同学过了一段时间就不写了，也有同学怀疑老师搞错了——他们发现这个计算永远也不会完成，这正是同学们通过计算体会到的循环小数的无穷性。

黄老师于是引起学生们的思考：“为什么不继续去掉呢？你怎么了，发现了什么规律？为了引导学生通过观察垂直模式发现规律，让学生在计算实践中发现问题并尝试解决，通过讨论和交流理解概念。在计算过程中，让学生体验循环小数的生成，可以加深对循环小数的理解，充分感受到循环小数是无限的。此时黄老师让同学们说说什么是循环小数。凭借之前的直观体验，通过计算的实践，学生可以通过交流不断完善循环小数的含义。

然后，师生讨论“这两个问题的商数怎么表示？””，由此得到循环小数的一般表示法。

一般来说，学生的表现方法可能如下。教师可以结合学生的四个答案讨论循环小数的记法

70 6=11.6 .(表示小数部分是无限的，但不表示数字的重复)

70 6=11.66666 .(可以这样表达，但是写那么多“6”太麻烦了)

706=11.6(6加一个点；循环小数的简单表示法)

70 6=11.66 .(表示无穷大，数字“6”不断重复)

这是让学生积极寻求解决非循环小数问题的方法。这个过程突出了知识的形成，揭示了速记背后的真相，使学生掌握了它的速记方法。

四.推荐阅读

(1) 《数学辞海第一卷》(邱光明，山西教育出版社，2002)

在书的第29页，有对“循环小数”及其相关概念的详细解释。

(2) 《听名师讲课：数学卷》(雷凌，广西教育出版社，2004)

在书的第42-43页，有黄爱华老师关于循环小数的教学片段和评论。