素数和质数的区别

素数是所有数字的基础。就像元素周期表中的化学元素一样，化学元素是一切化学物质的基础。素数包含了数的所有奥秘，所以数学研究者对素数有着特殊的热爱。

素数

素数，也叫素数，是指除了1和它本身以外没有其他因子的自然数，如2，3，5，7，11，13。

古希腊数学家欧几里得(约公元前330年-公元前275年)最早研究素数。他在《几何原本》中用反证法给出了“质数无穷多”的经典证明。

证明想法：

假设存在最大的素数p，那么将已知所有的素数相乘再加1，得到m：

m=235711……p 1，

显然m不可能被已知的任何一个素数整除，所以m有可能是素数，或者存在比p更大但是比m小的素数因子；无论哪种情况，都说明存在比p更大的素数，与假设矛盾，所以素数是无限的。

素数是整数的基础，所有的整数都可以用素数表示如下：

所以素数包含了整数的所有奥秘，整数分解是解决整数奥秘的途径之一，因为整数分解后只剩下质因数。

素数的应用

在现实生活中，数字的分解是许多网络加密的基础。两个已知数相乘很容易，分解一个大数很难。利用整数的这种非对称特性，密码学家巧妙地设计了加密和解密的数学原理，如基于大数分解的rsa非对称加密算法。

换句话说，一旦一个算法能够快速分解出一个大数，那么rsa加密方法就会失败，但是到目前为止还没有这样高效的算法。

素数的未解之谜

数学家们已经发现了许多围绕素数的定律，其中许多仍然是猜想，其中一些几百年来没有人证明过。这些猜想是数学的圣杯，谁能证明其中一个，就一定会载入史册。

（1）哥德巴赫猜想

猜想内容：任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和，简称“1 1=2”。

哥德巴赫于1742年提出，至今已有270多年。最好的成就是中国数学家陈景润证明的“1 ^ 2”，即任何足够大的偶数都可以写成一个素数和不超过两个素数的乘积之和。

（2）孪生素数猜想

差为2的素数对称为孪生素数，如5和7，11和13。猜想是有无限对孪生素数。

目前最好的成果是美籍华人数学家张在2013年提出了一个方法，证明了存在差小于某个数m的无穷多个素数对，当时张证明了m=7000万。一旦m=2完成，孪生素数猜想就解决了，现在m已经减到200多了。

（3）abc猜想

这个猜想描述了三个互质整数a，b，c(满足a b=c)的素因子之间的关系，是一个奇妙的猜想，也是数论中的一个强数学猜想。abc猜想一旦被证明，证明费马大定理只需短短五句话。

来自abc猜测的最新消息是，2012年，日本数学家町村信一声称完成了证明，他的证明过程长达500多页，包括他定制的很多符号和算法，以至于至今没有人能对他的证明给出合理的判断。

（4）黎曼猜想

素数有无穷多个，但是素数的分布很不规则。由于整数中质数的特殊性，数学家对质数一直有着特殊的兴趣，很多优秀的数学家毕生致力于研究质数的分布规律。

素数分布规律的第一次突破是伟大的数学家高斯在1792年(15岁)发现了素数定理。素数定理说素数分布和积分函数是渐近的，但高斯无法证明素数定理，使得素数定理成为19世纪最著名的数学问题。直到1896年，素数定理才被别人证明。

素数定理是素数分布的一个渐近公式，但是随着个数的增加，素数定理和素数分布的绝对误差会趋于无穷大，所以素数定理的实用性并不大。

直到1859年，高斯的学生黎曼在一篇论文中推广了欧拉100多年前发现的一个公式，进而推导出一个素数分布的精确公式(x)。这个公式成立与否，取决于一个猜想是否正确。

从黎曼猜想可以看出，素数的分布取决于黎曼函数的非平凡零点的分布。由于黎曼函数的所有非平凡零点都对每个素数有贡献，证明黎曼猜想非常困难。

2018年9月，89岁的英国数学家迈克尔阿蒂亚(michael atia)声称证明了黎曼猜想，引起了全世界的关注。可惜他的证明并不真实，他本人于2019年1月11日去世。

素数和质数的区别（判断素数的5种方法）

扩展阅读

互为质数是什么意思（什么样的数互为质数）

欧几里得84、数学符号“（a，b）”；质数，互质数，互质数定理；完全平方数

“从另一个角度看这个数字(根数2)，我们可以把它想象成一根‘晾衣绳’，上面挂着很多有趣的方法，值得你仔细琢磨.我要从不同角度证明2是无理数，从而认识到这一点……”孤独的德鼠最后说道。

.孤独的老鼠：网名，见《欧几里得83》.

证明1:尾数证明

“假设2是有理数，即2可以表示为分数2=a/b.其中(a，b)=1，a，b为正整数。那么a2=2 b2(a的平方=2b2的平方)……”孤独的de鼠说。

…

(a，b)=1是什么意思？——网友提问

“(a，b)=1，即a和b的最大公因数为1……”网友说“小芝麻大梦”，“数论中，记数法(a，b)是指整数a和整数b的最大公约数(也翻译为最大公约数)，即所有正整数中能同时除a和b的最大。

“例如，有四个正整数可以同时除以18和24:1、2、3和6。其中，6最大，那么(18，24)=6……”小芝麻梦接着说，“(a，b)=1，即a和b最大公因数为1(所有大于1的正整数不能同时除a和b).也就是说，a和b是质数……”

素数：大于1的自然数中，除了1和本身没有其他因子的自然数…

.互素数通常指互素数.

.素数：两个非零的自然数，其公因数只有1，称为素数.

.素数有以下定理：

(1)两个共因子只有1的非零自然数称为素数。例：2和3，公因数只有1，是素数；

(2)1是任意自然数的素数。两个不同的质数互为质数。一个质数和一个合成数，当它们不是倍数时互为质数。两个没有相同质因数的复合数互为质数。

(3)任意两个相邻数互为素数…

.复合数：自然数中的一个数，除了可以被1整除外，还可以被其他数整除(除了0)。相反，它是质数，1既不是质数，也不是复合数。最小的合成数是4…

…因子：整数a除以整数b(b0)的商只是一个没有余数的整数，所以我们说b是a的因子…例如：63=2，3是6的因子…

…质因数：用作因数的质数…

…

“既然完全平方b2(b的平方)的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，那么2b2(2b的平方)的尾数只能是0、2、8中的一个……”孤独的德鼠接着说。

.完全平方数：完全平方是指你自己乘以一个整数，比如11，22，33，等等.如果一个数可以表示为整数的平方，则称之为完全平方数；完全平方数非负…

.完全平方数2:如果一个正整数a是一个整数b的平方，那么这个正整数a被称为完全平方数。零也可以称为一个完整的平方数.一个完整的平方数的性质如下：(1)一个位数只能是0，1，4，5，6，9；(2)任意偶数的平方必须能被4整除…

”a2(a的平方)=aa，aa包含因子5

a包含系数5(这里使用的是排除中间定律)

请看下一集《欧几里得85、2是无理数的证明方法：尾数分析法；奇偶分析法》”

不了解历史，就看不到未来

合数的定义是什么（质数和合数的概念口诀）

教材分析：人民教育出版社五年级二册第二单元整理《因数和倍数》的内容，这是整数性质的基础。本单元的内容是在孩子已经学习了一定的整数知识(包括整数知识、整数运算及其应用)的基础上，进一步了解整数的性质。本单元设计中的因子、倍数、素数、合成数等概念，以及后续单元中的最大公因数和最小公倍数，是初等数论的基础知识，一直是小学数学教材中的重要内容。

本单元包括以下知识点——

知识点1:因子和倍数的概念

知识点2:找出一个数的因子

知识点3:找到一个数的倍数

知识点4:5和2、偶数和奇数的多重特征

知识点的多样性特征5: 3

知识点6:素数和合成数的概念

知识点7:探索和的奇偶性

知识点六：质数和合成数的概念微课设计

1.找出1~20个数的因子，观察这些因子个数的规律，发现：1只有一个因子，2，3，5，7，11，13，17，19，只有1和它自己，4，6，8，9，10，12，14，15，16，19。所以我们知道素数：只有一个和两个因子的数；认知复合数：除了1和本身，还有其他因素；1既不是素数，也不是复合数。

2.求100以内的素数，做素数表。(1)在1~100的百分位表上，先划掉1，再划掉2、3、5、7除自身以外的倍数，最后的数字都是质数。(2)提取100以内的素数，观察比较，发现：2是唯一的偶数素数，也是最小的素数；除了2，所有素数都是奇数。100以内的最大素数是97。(3)记忆20，2，3，5，7，11，13，17，19内的素数。

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这是郑先生的《形的数学》、《形的形象化》、《数的抽象》一课，帮助我们建构数学知识，提高思维能力。如果你觉得专栏的内容对你有帮助，请关注、表扬、转发，并发表评论。

互质数是什么意思（举个例子说明互质数）

小学数学期末复习总结了——个素数、素数和素数因子的特点、区别和联系

一、质数：

素数是指一个整数的因子只有1，本身没有其他因子。这样的数叫做质数(或质数)。